一道北大强基的高中数学题a+b+c=3

• 时间: 2023-07-04
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无聊的被推送了一个数学题视频，对题目感兴趣就做起来了，最后发现自己做不出来，看完解析简单mark一下。

==题目==

已知a、b、b为不相等的实数，a=ab+c,b=bc+a，c=ca+b，求a+b+c=？

==解法一，最简解==
一：当a=0或b=0或c=0时，则a=b=c=0，易知a、b、c均不为0。

二：三个等式分别除以a、b、c可得：

• 1=b+c/a
• 1=c+a/b
• 1=a+b/c

三：三个等式分别除以ac、ab、bc可得：

• 1/c=b/c+1/a → b/c=1/a-1/c
• 1/b=c/a+1/b → c/a=1/b-1/a
• 1/b=a/b+1/c → a/b=1/c-1/b

四：第三步变形后的等式代入第二步的等式后，求和可得：3=a+b+c

==解法二==
一：三个等式相加，可得0=ab+bc+ca

二：三个等式分别乘以c、a、b

• ac=abc+c²
• ab=abc+a²
• bc=abc+b²

以上等式相加可得0=3abc+a²+b²+c² → a²+b²+c²=-3abc

三：三个等式移项可得：

• a(1-b)=c
• b(1-c)=a
• c(1-a)=b

以上等式相乘可得：

• abc(1-b)(1-c)(1-a)=abc
• (1-b)(1-c)(1-a)=1
• 1-a-b-c+ab+bc+ac-abc=1 (0=ab+bc+ca)
• a+b+c=-abc

最后，从a+b+c的平方开始：

• (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc【代入第一步得到的0=ab+bc+ca】
• (a+b+c)²=a²+b²+c² 【左右分别代入a+b+c=-abc，a²+b²+c²=-3abc】
• -abc(a+b+c)=-3abc
• a+b+c=3